Bạn không còn phải nhớ công thức, chỉ cần vài bước suy luận đơn giản mà thôi.
Ba ngàn năm trước Công Nguyên, một viên quan dưới thời Babylon cổ đại đến gặp người nông dân và nói rằng thuế lúa mì của mùa vụ này sẽ tăng lên. Lẽ dĩ nhiên, những người nông dân sẽ phải tăng diện tích thửa ruộng của mình để có thể nộp thêm thuế.
Khi một trong số họ muốn mở rộng cả chiều dài và chiều rộng thửa ruộng ra cùng một khoảng bằng x, người nông dân này vấp phải một phương trình dạng: Ax2 Bx C = 0. Đó có thể là lần đầu tiên mà con người phải đối mặt với một phương trình bậc hai.
Trong quá khứ, phương trình bậc hai đã được sử dụng để tính toán những diện tích khổng lồ.
Xuyên suốt lịch sử, những bài toán đòi hỏi con người phải giải phương trình bậc hai đã xuất hiện ở mọi nền văn minh, từ Babylon, Ai Cập, Ấn Độ cho tới Trung Quốc. Trong quá khứ, phương trình bậc hai đã được sử dụng để tính toán những diện tích khổng lồ – biểu tượng của văn minh, từ những bậc thang của kim tự tháp cho tới những mái ngói đền thờ, lăng tẩm.
Nhờ những ứng dụng từ cơ bản tới vĩ đại, phương trình bậc hai ngày nay được đưa vào mọi chương trình toán học phổ thông trên thế giới. Thật đáng tiếc, cách nó được dạy khá máy móc. Tất cả các giáo trình toán trung học đều bắt học sinh thuộc lòng một công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát:
Đây thực sự rất khó nhớ và không mang tính trực quan chút nào. Giải phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm gần như là một bài tập trí nhớ, thay vì rèn luyện suy luận. Nếu bạn có thể nhớ công thức nghiệm, về cơ bản bạn sẽ giải được tất cả các phương trình bậc hai. Chỉ có điều, toán học không sử dụng suy luận thật nhạt nhẽo và vô nghĩa.
Đó là lý do mà Po-Shen Loh, một nhà toán học tại Đại học Carnegi Mellon, huấn luyện viên đội tuyển toán Olympic Hoa Kỳ muốn tìm ra một lời giải đơn giản, trực quan và mang tính suy luận hơn cho phương trình bậc hai. Và anh ấy đã thành công.
Po-Shen Loh, huấn luyện viên đội tuyển toán Olympic Hoa Kỳ.
Năm 2019, Po-Shen Loh xuất bản một bài báo khoa học chia sẻ về phương pháp giải phương trình bậc hai mới của anh. Nó hoàn toàn vượt ra khỏi sự gò bó của việc áp dụng công thức nghiệm, không yêu cầu học sinh phải nhớ công thức một cách máy móc, mà vẫn có thể giải được mọi phương trình bậc hai, thậm chí với cả nghiệm phức.
Hãy cùng tìm hiểu đâu là cách Po-Shen Loh đã sử dụng:
1. Giả sử, ta có phương trình bậc hai như sau: x2 Bx C = 0
2. Với một chút quan sát hoặc nhớ lại định lý Viete, ta có thể thấy mọi đa thức vế trái đều có thể phân tích thành dạng:
Nếu vế trái bằng 0, phương trình này sẽ có nghiệm x =R hoặc x = S. Cơ bản, đó chính là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.
Bây giờ, khi nhân bung vế phải để phá ngoặc, ta sẽ có:
Phương trình này tương đương với -B = R S và C = R.S. Không có gì đặc biệt, nó chỉ giống với những gì mà nhà toán học người Pháp Viete đã rút ra được từ thế kỷ 16. Nhưng bước sau này là sự sáng tạo của Po-Shen Loh, khi anh đã dùng cùng một cách mà các nhà toán học thời Babylon cổ đại đã dùng để giải tiếp phương trình.
3. Po-Shen Loh nhận thấy nếu -B là tổng của R và S, thì trung bình cộng của R và S sẽ là -B/2. Ta gọi z là giá trị tuyệt đối của hiệu số giữa R và S với số trung bình cộng. Khi đó, ta có thể biểu diễn R và S theo -B/2 và chỉ còn duy nhất z là đại lượng chưa biết:
Sau đó, chúng ta đơn giản là chuyển vế rồi lấy căn bậc hai để tìm ra z:
4. Lắp z trở lại R và S, ta sẽ được 2 nghiệm của phương trình ban đầu là:
TADA! Nhìn thì có vẻ cũng có chút phức tạp. Nhưng hãy thử áp dụng vào một phương trình bậc hai để xem nó đơn giản đến thế nào. Ta có thể dùng đồ thị để hình dung về phương pháp của Po-Shen Loh:
Giả sử ta có hàm số y = x2 – 4x -5. Hàm số này được thể hiện là một parabol trên đồ thị bên phải. Ở hai điểm giao của parabol với trục hoành, ta có x2 – 4x -5 =0, chính là một phương trình bậc hai. Hoành độ của 2 giao điểm chính là nghiệm của phương trình này: R và S.
Theo định lý Viete, R S = 4, trung bình cộng của R và S là 2.
z là nửa khoảng cách giữa R và S, là đại lượng chưa biết thì R =2-z và S = 2 z.
Áp dụng tiếp định lý Viete, ta có R.S = -5. Nghĩa là (2-z). (2 z)= -5.
Nhân phá ngoặc, ta được 4-z2=-5
Tương đương với z2=9, z=3.
Vậy nghiệm của phương trình đầu tiên là R =2-3= -1 và S = 2 3= 5.
Tiếp tục thử cách giải của Po-Shen Loh với một phương trình bậc hai khác có nghiệm phức, ta thấy nó vẫn đúng. Giả sử phương trình lúc này là: x2 -2x 4 = 0.
Khi đã quen với phương pháp của Po-Shen Loh, ta có thể nhẩm nhanh phương trình này sẽ có 2 nghiệm: -B/2 ± z. Ở đây, B =-2 nên ta có 2 nghiệm là 1 ± z. Vì tích hai nghiệm phải bằng C =4, ta lại có:
Vậy, cuối cùng hai nghiệm của phương trình ban đầu là:
Cùng một phương trình này, nếu giải bằng công thức nghiệm sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều. Do đó, phương pháp của Po-Shen Loh vừa đơn giản, mang tính suy luận lại trực quan. Nó cũng có thể áp dụng với mọi phương trình bậc hai mà bạn gặp.
Nếu phương trình có dạng Ax2 Bx C = 0, bạn chỉ việc chia tất cả các hệ số cho A để được phương trình mới dạng x2 (B/A) x C/A = 0 và áp dụng cách giải của Po-Shen Loh như bình thường.
Theo Khoa học
